BAB III
UKURAN TENGAH DAN DISPERSI
Dalam pembicaraan yang lalu kita telah mempresentasikan data dalam bentuk tabel dan grafik yang bertujuan meringkaskan dan menggambarkan data kuantitatif, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data. Selain data itu disajikan dalam tabel dan grafik, masih diperlukan ukuranukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data itu. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang ukuran tengah dan dispersi.3.1. Ukuran Tengah
Ukuran tengah dari sekumpulan data adalah nilai tunggal yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan paling tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut besamya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran nilai pusat (measures of central value).
Beberapa ukuran tengah yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot, median, kuartil dan modus.
3.1.1 Mean dan Mean Terbobot
a. Data tidak dikelompokkan
Mean dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi.
Definisi 3.1
Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ... , xn maka mean sampel adalah
atau
Contoh 3.1
Diketahui sampel dari penimbangan berat badan 5 orang dewasa adalah 60 65 59 71 65 maka mean = (60 + 65 + 59 + 71 + 65)/5 = 320/5 = 64
Pada waktu kita menghitung mean dari suatu kumpulan data, kita anggap bahwa semua nilai observasi itu adalah sama "penting" dan diberi bobot yang sama dalam perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, kita dapat menetapkan bobot untuk setiap nilai data itu yang proporsional terhadap derajat kepentingan dan kemudian dihitung mean terbobot.
Universitas Gadjah Mada 2
Definisi 3.2 :
Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang diberikan kepada mereka maka mean terbobot adalah
Contoh 3.2 :
Misalkan seorang mahasiswa mengambil matakuliah X dengan 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, v3 = 3) maka indeks prestasinya adalah
Prosedur pembobotan juga digunakan dalam menghitung mean dari beberapa himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya kita mempunyai 2 himpunan data terdiri atas ni & n2 nilai observasi dengan mean masing-masing adalah ̅̅̅, dan ̅̅̅ . Mean kombinasi data ini adalah mean terbobot dari individual mean, yaitu :
b. Data dikelompokkan
Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya.
Definisi 3.3 :
Mean dari data yang dikelompokkan adalah
Universitas Gadjah Mada 3
dengan xi : titik tengan interval kelas ke-i
fi : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyaknya data
Universitas Gadjah Mada 4
Contoh 3.3 :
Untuk menghitung data pada contoh 2.1, kita gunakan tabel seperti di bawah ini.
sehingga ̅- = 8732/50 = 174,64 Cara lain dengan transformasi
dengan xi : titik tengah interval kelas ke-i
a : sembarang harga titk tengah interval kelas
c : lebar interval kelas
sehingga mean adalah
Contoh 3.4 :
Untuk contoh di atas, transformasinya adalah
kemudian dibuat tabel hasil transformasi, yaitu :
maka ̅ = -6/50 = -0,12
Universitas Gadjah Mada 5
sehingga ̅ = c ̅+ a = 3( - 0,12) + 175 = -0,36 + 175 = 174,64
3.1.2 Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besamya.
a. Data yang tidak dikelompokkan
Contoh 3.5:
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171
median = 168
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65
median = (58 + 60) / 2 = 59
b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.
Rumus untuk menghitung median adalah
dengan Lmd : batas bawah interval median
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median
fmd : frekuensi interval median
c : lebar interval
Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas).
Contoh 3.6
dari tabel 2.1
n = 50 maka n/2 = 25
Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6+7+8+11 = 32
Sehingga harga median terletak dalam interval ke-4, yaitu 173,5 - 176,5 dengan frekuensi 11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median.
Universitas Gadjah Mada 6
maka Lmd = 173,5
n = 50
F = 21
fmd = 11
c = 3
Jadi median adalah
Median = Md = 173,5 +
= 173,5 + 12/11
= 173,5 + 1,09
= 174,59
3.1.3 Kuartil
Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.
a. Data yang tidak dikelompokkan
Contoh 3.7 :
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171
Kuartil I : K1 = = 166
Kuartil II : K2 = Median = 168
Kuartil III : K3 = = 170,5
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65
Kuartil I : K1= 57
Kuartil II : K2 = Median = =59
Kuartil III : K3 = 60
b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.
Rumus untuk menghitung Kuartil adalah
Universitas Gadjah Mada 7
Universitas Gadjah Mada 8
dengan LK1 : batas bawah interval Kuartil I
Lmd : batas bawah interval median
LK2 : batas bawah interval Kuartil III
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval Kuartil
fK1 : frekuensi interval Kuartil I fmd : frekuensi interval median
fK3 : frekuensi interval Kuartil III
c : lebar interval
Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.
Contoh 3.8 :
dari tabel 2.1 diperoleh : n = 50 maka n/4 = 12,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6+7 = 13
Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan
frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil I.
maka LK1 = 167,5
n = 50
F = 6
FK1 = 7
C = 3
Jadi Kuartil I adalah
Kuartil I : K1 = 167,5 + 12,5 7-63
= 167,5 + 19,5/7
= 167,5 + 2,79
= 170,29
Kuartil II : K2 = Median
= 174,59
n = 50 maka 3n/4 = 37,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6+7+8+11+7 = 39
Sehingga harga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan
frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil II.
maka LK3 = 176,5
n = 50
F = 32
frnd = 7
c = 3
Universitas Gadjah Mada 9
Jadi Kuartil Ill adalah
Kuartil Ill : K3 = 176,5 +
= 176,5 + 5,5/7
= 176,5 + 0,79
= 177,29
3.1.4 Modus
Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.
a. Data tidak dikelompokkan Contoh 3.9 : Modus berat badan mahasiswa di atas adalah 60 karena 60 muncul 2 kali.
b. Data dikelompokkan
dengan Lmo : batas bawah interval modus
a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya
b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.
c : lebar interval Interval modus
interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi.
Contoh 3.10 :
Dari tabel 2.1 : interval modus adalah interval ke-4 dengan frekuensi 11.
sehingga Lmo = 173,5
a = 11 - 8 = 3 b = 11 - 7 = 4
c = 3
Jadi modus adalah
Modus = 173,5 + 3
= 173,5 + 1,29
= 174,79
3.2. Ukuran Dispersi
Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama, namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Beberapa ukuran deviasi yang akan dibicarakan : jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.
Universitas Gadjah Mada 10
3.2.1 Jangkauan
Jangkauan adalah selisih data terbesar dan terkecil.
Contoh 3.11 :
Berat badan (kg) 5 mahsiswa adalah sebagai berikut :
60 65 59 71 65
maka jangkauan = 71 - 60 = 11
3.2.2 Deviasi rata-rata
Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.
a. Data tidak dikelompokkan
Misalnya xl, x2, , adalah sekumpulan data dengan mean )1., maka deviasi rata-ratanya adalah
Contoh 3.12 :
Dan data berat badan 5 orang dewasa, diperoleh mean = ̅ = 64 maka deviasi rata-rata :
jadi dr = 18/5 = 3,6
b. Data dikelompokkan
Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus :
Universitas Gadjah Mada 11
dengan xi : titik tengah inteval kelas ke-i
fi : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyak data
Contoh 3.13 :
Dari contoh 3.3 diperoleh mean adalah ̅ = 174,64
Deviasi rata-rata = dr = 233,88/50 = 4,68
4.3 Variasi dan Deviasi Standar
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean sampel dibagi n - 1, yaitu :
a. Data tidak dikelompokkan
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu : s = √
Contoh 3.11
Universitas Gadjah Mada 12
jadi s2 = 92/4 = 23
s = 4,796
b. Data dikelompokkan
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :
Contoh 3.12 :
Deviasi standar : s = 5,51
Variansi :
Cara lain dengan transformasi
dengan xl adalah sembarang harga titik tengah interval kelas
Sehingga:
Variansi = s2 = c2
Universitas Gadjah Mada 13
Deviasi standar = s = c su
Contoh 3.13 :
maka : s2 = [166 - (-6)2/ 50] 149
= (166 - 0,72) / 49
= 165,28 / 49
= 3,373
sehingga s2 = 9 x 3,373
= 30,36
s = 5,51
Latihan 3
1. Nilai akhir dari 12 mahasiswa yang mengikuti ujian statistika adalah
Hitung Mean median dan Modus
2. Berikut ini adalah data nilai hasil ujian akhir Statistika 75 mahasiswa
Universitas Gadjah Mada 14
Berdasarkan data tersebut
a) Buatlah distribusi frekuensinya.
b) Hitunglah ukuran tengah dan dispersi
c) Berapa persen mahasiswa yang nilainya lebih dari mean di kurangi deviasi
standar?
3. Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi umur (tahun) 65 orang karyawan
pada perusahaan ABC yang mempunyai titik tengah x, dan frekuensi f,.
a) Hitunglah mean, modus, median dan kuartil
b) Hitunglah deviasi standar.
c) Berapa persen karyawan yang umumya kurang dad median ?
d) Berapa persen karyawan yang umurnya di atas rata-rata?
e) Berapa persen karyawan yang umumya lebih dari modus ?
f) Berapa persen karyawan yang umumya kurang dari mean ditambah devasi
standar ?
4. Direktur rumah sakit X melakukan survay pada jumlah hail yang dihabiskan pasien di
rumah sakit tersebut. Hasilnya adalah
a) Berapakah rata-rata waktu yang dihabiskan pasien ?
b) Berapa persen pasien yang sembuh kurang dan rata-rata ?
Universitas Gadjah Mada 15
5. Misalkan interval kelas median nilai ujian statistik adalah 45,5 - 57,5 dengan frekuensi
relatif 0,2. Diketahui harga median 50 dan mean 48.
a) Berapa persen nilai ujian yang di bawah rata-rata ?
b) Berapa persen nilai ujian yang di atas median ?
6. Misalkan titik interval kelas median nilai ujian statistik adalah 50 dengan frekuensi
relatif 0,15 dan lebar interval 11. Diketahui harga median 53, mean 47 dan modus 50.
Hitunglah berapa persen nilai
a) di bawah rata-rata ?
b) di atas modus ?
